Basis Ruang Vektor

    Basis adalah suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut.

     Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi:

*S bebas linier

*S serentang/membangun V.

Contoh Soal:

Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

1. Ruang-N Euclides
  Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif,maka pasangan-n berturut-turut adalah sederet n bilangan real (a₁,a₂,……,a_n). himpunan semua pasangan-n berturut-turut disebut ruang -n Euclides dan dinyatakan dengan Rⁿ.
Operasi-operasinya adalah: 
Misalkan u=(u₁,u₂,….u_n) dan v=(v_1,v_2,….v_n) pada Rⁿ 
1. u =v jika u₁=v_1,u₂=v₂ …….. u_n=v_n
2. u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,…….,u_n+v_n)
3. ku = (ku₁,ku_2,……_,ku_n)
4. u*v = u₁v₁+u₂v₂+....+u_nv_n
5.
Contoh Soal :
Diketahui vektor-vektor u = (-3,2,2), v = (4,7,-2). Carilah 3u + 5v!
Jawab :
3u + 5v = 3 (-3,2,2) + 5 (4,7,-2) = (-3.3+3.6+3.2) + (5.4+5.7+5.-2) = -9+18+6+20+35-10 = 60

2. Ruang Vektor

    Misalkan u , v , dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini :

1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v berada pada V juga.

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0

5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V sehingga u +(-u) = -u + u = 0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka k.u berada di V.

7. k(u+v) = ku +kv

8. (k+l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga 1u = u

Contoh Soal :

Diketahui u = (–1, 3, 5) dan v = (5, –4, 7)

Tentukan u ⋅ v !

Jawab :

u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7)

        = –5 –12+35

        = 18

3. Sub Ruang

    Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah :

1. W ≠ { }

2. W ⊆ V

3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W

4. Jika u berada di W maka k.u juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Real.

Contoh :

4. Kombinasi Linier

    Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁,u₂,….u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                      x = k₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n 

Dimana k_{1 ,} k_{2, .... ,} k_n adalah skalar.

Contoh :

5. Membangun Ruang Vektor

   Himpunan  u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor  x pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear u₁,u₂,….u_n maka u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun ruang vektor V.

Contoh Soal :

6. Kebebasan Linier

    Apabila S = {u₁,u₂,….u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                       K₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n = 0

Contoh :

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Pengertian

● Nilai Eigen  () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n

● Vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Syarat-syarat

Nilai dan Vektor Eigen itu memiiki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

●  tidak memiliki invers atau  

● 

Contoh :

Teknik Menghitung Nilai Eigen

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

1. Bentuk matrik (|-A)

2. Hitung determinan, det (|-A)=0

3. Tentukan persamaan karakteristik dari,(|-A)=0

4. Hitunglah akar-akar persamaan karakteristik (nilai )

5. Hitung vektor eigen dari SPL, (|-A)x=0

Contoh soal:

●Matriks 2x2

●Matriks 3x3