Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

1. Ruang-N Euclides
  Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif,maka pasangan-n berturut-turut adalah sederet n bilangan real (a₁,a₂,……,a_n). himpunan semua pasangan-n berturut-turut disebut ruang -n Euclides dan dinyatakan dengan Rⁿ.
Operasi-operasinya adalah: 
Misalkan u=(u₁,u₂,….u_n) dan v=(v_1,v_2,….v_n) pada Rⁿ 
1. u =v jika u₁=v_1,u₂=v₂ …….. u_n=v_n
2. u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,…….,u_n+v_n)
3. ku = (ku₁,ku_2,……_,ku_n)
4. u*v = u₁v₁+u₂v₂+....+u_nv_n
5.
Contoh Soal :
Diketahui vektor-vektor u = (-3,2,2), v = (4,7,-2). Carilah 3u + 5v!
Jawab :
3u + 5v = 3 (-3,2,2) + 5 (4,7,-2) = (-3.3+3.6+3.2) + (5.4+5.7+5.-2) = -9+18+6+20+35-10 = 60

2. Ruang Vektor

    Misalkan u , v , dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini :

1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v berada pada V juga.

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0

5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V sehingga u +(-u) = -u + u = 0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka k.u berada di V.

7. k(u+v) = ku +kv

8. (k+l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga 1u = u

Contoh Soal :

Diketahui u = (–1, 3, 5) dan v = (5, –4, 7)

Tentukan u ⋅ v !

Jawab :

u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7)

        = –5 –12+35

        = 18

3. Sub Ruang

    Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah :

1. W ≠ { }

2. W ⊆ V

3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W

4. Jika u berada di W maka k.u juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Real.

Contoh :

4. Kombinasi Linier

    Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁,u₂,….u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                      x = k₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n 

Dimana k_{1 ,} k_{2, .... ,} k_n adalah skalar.

Contoh :

5. Membangun Ruang Vektor

   Himpunan  u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor  x pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear u₁,u₂,….u_n maka u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun ruang vektor V.

Contoh Soal :

6. Kebebasan Linier

    Apabila S = {u₁,u₂,….u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                       K₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n = 0

Contoh :