Matriks: Oktober 2018

Sabtu, 27 Oktober 2018

Sistem Persamaan Linear Menggunakan Metode Eliminasi Gauss,Eliminasi Gauss Jourdan, dan Crammer

1.Eliminasi Gouss
Eliminasi Gauss ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Eleminasi Gauss adalah suatu cara untu mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode ini mirip dengan Metode OBE dalam mencari Invers Matriks, cuma eleminasi gaouss ini hanya sampai segitiga atas saja tidak sampai matriks identitas.

Pertama-tama kita harus mengubah persamaan linear ke dalam matriks dan mengoperasikannya dengan metode OBE. Jadi syarat OBE juga berlaku disini. Syaratnya yaitu :

~Tukarkan kedua baris

~Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang ≠ 0

~Tambahkan Perkalian dari satu baris ke baris yang lain

Contoh soal :

2. Eliminasi Gauss Jourdan

Eliminasi ini merupakan lajutan dari eleminasi gauss yang hasilnya langsung ke nilai x1, x2, x3 nya berapa. Tata cara pencariannya juga sama seperti mencari OBE yaitu hasil akhirnya matriks identitas.

Contoh soal :

3. Metode Crammer
Jika AX = B adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dimana det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)

X2 = det (A2) / det (A)

Xn = det (An) / det (A)

Contoh soal :

Sabtu, 13 Oktober 2018

Invers Matriks Menggunakan Metode Perkalian Invers Matriks Elementer dan Partisi Matriks

Perkalian Invers Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matriks identitas. Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan setiap matriks bujur sangkar berordo nxn yang mempunyai invers ekivalen terhadap matriks identitas I.

Matriks elemnter diperoleh dari transformasi matriks identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom.

Contoh Soal :

2. Partisi Matriks

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Contoh Soal :

Minggu, 07 Oktober 2018

Invers Matriks Metode Adjoint dan Operasi Baris Elementer

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan bahwa matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Matriks 2x2

untuk mengerjakan invers matriks mempunyai syarat yaitu $ad - bc \neq 0$ , maka rumus dari invers matriks A adalah sebagai berikut.

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$

$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh :

$Tentukan\ invers\ matriks\ A\ \ =\ \begin{bmatrix}2 & 4 \\6 & 8 \end{bmatrix}$

Jawab :

$A^{-1} \ = \frac{1}{(2)(8)\ -\ (4)(6)} \begin{bmatrix}8 &-4\ \ \ \ \ \\-6 & 2\end{bmatrix} \ = \frac{\ \ \ \ \ \ \ 1}{-8} \begin{bmatrix}\ \ \ \ \ \ 8 & -4\ \ \ \ \ \ \\-6 & 2 \end{bmatrix}$

$\ = \begin{bmatrix}-1 & \frac{\ \ \ \ \ 1}{\ \ \ \ \ 2} \\ \frac{3}{4} & \frac{-1}{\ \ \ \ \ \ 4} \end{bmatrix}$

Matriks 3x3

Matriks 3x3 bisa diselesaikan dengan beberapa cara, disini kita akan membahas dengan metode adjoint dan operasi elementer baris.

Metode Adjoint

Dinotasikan dengan Adj(A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A .

Rumus Invers :

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\ \ \ adj A$
$+A^{-1}=\frac{1}{det\:+A}adj\left+(+A+\right+)$

Contoh Soal :

$Tentukan\ invers\ matriks\ A =\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 8 & 10 & 12\\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix}$

Jawab :

Langkah pertama kita harus mencari determinan A

$Det (A)=2 \begin{bmatrix}10 & 12 \\ 16& 18 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix}8 & 12 \\14 & 18 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix}8 & 10 \\14 & 16 \end{bmatrix}$

$=2[(10)(18)-(12)(16)]-4[(8)(18)-(12)(14)]+6[(8)(16)-(10)(14)]$

$=2(-12)-4(-24)-6(-12)=144$

Langkah kedua kita harus mencari adjoint A, dalam mencari adjoint A kita harus mencari cofaktor dan minor terlebih dahulu

$Adjoint\ A = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & c_{31}\\ c_{12} & c_{22} & c_{32}\\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} M_{11} & -M_{21} & M_{31}\\ -M_{12} & M_{22} & -M_{32}\\ M_{13} & -M_{23} & M_{33} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 28 & -12 & 8\\ -8 & 12 & -8\\ -16 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

Langkah ketiga kita baru bisa mencari invers A

$A^{-1} = \frac{1}{Det A}\ \ adj A$

$=\frac{1}{40} \begin{pmatrix} 28 & -12 & 8\\ -8 & 12 & -8\\ -16 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{7}{10} & \frac{-3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{3}{10} & \frac{-1}{5} \\ \frac{-4}{10} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}$

2. Operasi Elementer Baris

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A | I), dengan I adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A | I) ke bentuk (I | B), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks Aadalah matriks B.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) Tukarkan 1 baris dengan baris lainnya

b) Kalikan satu baris dengan bilangan bukan nol

c) jumlahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya

Contoh Soal :