Matriks: Invers Matriks Metode Adjoint dan Operasi Baris Elementer

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan bahwa matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Matriks 2x2

untuk mengerjakan invers matriks mempunyai syarat yaitu $ad - bc \neq 0$ , maka rumus dari invers matriks A adalah sebagai berikut.

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$

$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh :

$Tentukan\ invers\ matriks\ A\ \ =\ \begin{bmatrix}2 & 4 \\6 & 8 \end{bmatrix}$

Jawab :

$A^{-1} \ = \frac{1}{(2)(8)\ -\ (4)(6)} \begin{bmatrix}8 &-4\ \ \ \ \ \\-6 & 2\end{bmatrix} \ = \frac{\ \ \ \ \ \ \ 1}{-8} \begin{bmatrix}\ \ \ \ \ \ 8 & -4\ \ \ \ \ \ \\-6 & 2 \end{bmatrix}$

$\ = \begin{bmatrix}-1 & \frac{\ \ \ \ \ 1}{\ \ \ \ \ 2} \\ \frac{3}{4} & \frac{-1}{\ \ \ \ \ \ 4} \end{bmatrix}$

Matriks 3x3

Matriks 3x3 bisa diselesaikan dengan beberapa cara, disini kita akan membahas dengan metode adjoint dan operasi elementer baris.

Metode Adjoint

Dinotasikan dengan Adj(A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A .

Rumus Invers :

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\ \ \ adj A$
$+A^{-1}=\frac{1}{det\:+A}adj\left+(+A+\right+)$

Contoh Soal :

$Tentukan\ invers\ matriks\ A =\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 8 & 10 & 12\\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix}$

Jawab :

Langkah pertama kita harus mencari determinan A

$Det (A)=2 \begin{bmatrix}10 & 12 \\ 16& 18 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix}8 & 12 \\14 & 18 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix}8 & 10 \\14 & 16 \end{bmatrix}$

$=2[(10)(18)-(12)(16)]-4[(8)(18)-(12)(14)]+6[(8)(16)-(10)(14)]$

$=2(-12)-4(-24)-6(-12)=144$

Langkah kedua kita harus mencari adjoint A, dalam mencari adjoint A kita harus mencari cofaktor dan minor terlebih dahulu

$Adjoint\ A = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & c_{31}\\ c_{12} & c_{22} & c_{32}\\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} M_{11} & -M_{21} & M_{31}\\ -M_{12} & M_{22} & -M_{32}\\ M_{13} & -M_{23} & M_{33} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 28 & -12 & 8\\ -8 & 12 & -8\\ -16 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

Langkah ketiga kita baru bisa mencari invers A

$A^{-1} = \frac{1}{Det A}\ \ adj A$

$=\frac{1}{40} \begin{pmatrix} 28 & -12 & 8\\ -8 & 12 & -8\\ -16 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{7}{10} & \frac{-3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{3}{10} & \frac{-1}{5} \\ \frac{-4}{10} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}$