Matriks: Dekomposisi Matriks dan Determinan

Dekomposisi matriks adalah salah satu cara untuk mencari determinan matriks yaitu dengan mengubah matriks bujur sangkar menjadi matriks segitiga atas dan segitiga bawah dengan rumus perhitungan iterasinya.

Rumus umum dekomposisi maktriks yaitu :

A = L.U

Sehingga :

Det(A) = Det(L).Det(U)

Metode Crout

Dalam metode crout matriks L itu merupakan matriks segitga bawah, sedangkan matriks U merupakan matriks segitiga atas.

Bentuk umum :

n = 3

Contoh Soal :

Iterasi 1 = $l_{11} \ = a_{11} \ = 1$

$l_{21} \ = a_{21} \ = 2$

$l_{31} \ = a_{31} \ = 3$

Iterasi 2 = $u_{12} \ = \frac{ a_{12} }{ a_{11} } \ = \frac{2}{1} \ = 2$

$u_{13} \ = \frac{ a_{13} }{ a_{11} } \ = \frac{3}{1} \ = 3$

Iterasi 3 = $l_{22} \ = a_{22} - l_{21} u_{12}$

$\ = 2-(2)(2)$

$\ = -2$

$l_{32} \ = a_{32} - l_{31} u_{12}$

$\ = 2-(3)(2)$

$\ = -3$

Iterasi 4 = $u_{23} \ = \frac{ u_{23}- l_{21} u_{13} }{ l_{22} }$

$\ = \frac{3-(2)(3)}{-2}$

$\ = 1,5$

Iterasi 5 = $l_{33} \ = a_{23} - l_{31} u_{13} - l_{32} u_{23}$

$\ = 7-(3)(3)-(-4)(1,5)$

$\ = 4$

Jadi, Det (A) = Det (L).Det (U)

= (1.2.-4)(1.1.1)

= -8

2. Metode Doolittle
Dalam metode doolittle matriks L yang digunakan merupakan matriks segitiga atas sedangkan matriks U merupakan matriks segitiga bawah, berkebalikan dengan metode crout.

Bentuk umum :

n = 3

Contoh Soal :

Iterasi 1 = $u_{11} \ = a_{11} \ = 1$

$u_{12} \ = a_{12} \ = 2$

$u_{13} \ = a_{13} \ = 3$

Iterasi 2 = $l_{21}\ = \frac{ a_{21} }{ a_{11} } \ = \frac{2}{1}\ = 2$

$l_{31}\ = \frac{ a_{31} }{ a_{11} } \ = \frac{3}{1}\ = 3$

Iterasi 3 = $u_{22}\ = a_{22}- l_{21} u_{12} \ = 2-(2)(2) \ = -2$

$u_{23}\ = a_{23}- l_{21} u_{13} \ = 3-(2)(3) \ = -3$

Iterasi 4 = $l_{32} \ = \frac{ a_{32}- l_{31} u_{12} }{ u_{22} }\ = \frac{2-(3)(2)}{-2} \ = 2$

Iterasi 5 = $u_{33} \ = a_{33} - l_{31} u_{13} - l_{32} u_{23} \ = 7-(3)(3)-(2)(-3) \ = 4$

Jadi, Det (A) = Det(L).Det(U)

= (1.1.1)(1.-2.4)

= -8

Dari kedua contoh di atas kita bisa bandingkan cara pengerjaannya baik itu menggunakan meode crout maupun metode doolittle harus menghasilkan determinan yang sama.

Matriks

Sabtu, 29 September 2018

Dekomposisi Matriks dan Determinan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar