Diagonalisasi Matriks

     Diagonalisasi matriks(D) dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks A dan terdapat sebuah matriks P yang sedemikian sehingga P–¹AP membentuk matriks diagonal.

Langkah-langkahnya
1.Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A
2.Carilah vektor eigen yang bebas linear dari A,p1,p2,...,pn.
3.Benruklah matriks P[p1,p2,...,pn]
4.Hitunglah invers dari P
5.Hitunglah D = P–¹AP dengan hasil diagonal utamanya λ1,λ2,...,λn 

Contoh soal :

Basis Ruang Vektor

    Basis adalah suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut.

     Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi:

*S bebas linier

*S serentang/membangun V.

Contoh Soal:

Basis dan Dimensi (Ruang - N Euclides, Ruang Vektor, Sub Ruang, Kombinasi Linier, Membangun Ruang Vektor, Kebebasan Linier)

1. Ruang-N Euclides
  Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif,maka pasangan-n berturut-turut adalah sederet n bilangan real (a₁,a₂,……,a_n). himpunan semua pasangan-n berturut-turut disebut ruang -n Euclides dan dinyatakan dengan Rⁿ.
Operasi-operasinya adalah: 
Misalkan u=(u₁,u₂,….u_n) dan v=(v_1,v_2,….v_n) pada Rⁿ 
1. u =v jika u₁=v_1,u₂=v₂ …….. u_n=v_n
2. u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,…….,u_n+v_n)
3. ku = (ku₁,ku_2,……_,ku_n)
4. u*v = u₁v₁+u₂v₂+....+u_nv_n
5.
Contoh Soal :
Diketahui vektor-vektor u = (-3,2,2), v = (4,7,-2). Carilah 3u + 5v!
Jawab :
3u + 5v = 3 (-3,2,2) + 5 (4,7,-2) = (-3.3+3.6+3.2) + (5.4+5.7+5.-2) = -9+18+6+20+35-10 = 60

2. Ruang Vektor

    Misalkan u , v , dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini :

1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v berada pada V juga.

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0

5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V sehingga u +(-u) = -u + u = 0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka k.u berada di V.

7. k(u+v) = ku +kv

8. (k+l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga 1u = u

Contoh Soal :

Diketahui u = (–1, 3, 5) dan v = (5, –4, 7)

Tentukan u ⋅ v !

Jawab :

u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7)

        = –5 –12+35

        = 18

3. Sub Ruang

    Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah :

1. W ≠ { }

2. W ⊆ V

3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W

4. Jika u berada di W maka k.u juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Real.

Contoh :

4. Kombinasi Linier

    Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁,u₂,….u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                      x = k₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n 

Dimana k_{1 ,} k_{2, .... ,} k_n adalah skalar.

Contoh :

5. Membangun Ruang Vektor

   Himpunan  u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor  x pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear u₁,u₂,….u_n maka u₁,u₂,….u_n dikatakan membangun ruang vektor V.

Contoh Soal :

6. Kebebasan Linier

    Apabila S = {u₁,u₂,….u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                       K₁u_{1 +} k₂,u_{2 + ....+} k_nu_n = 0

Contoh :

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Pengertian

● Nilai Eigen  () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n

● Vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Syarat-syarat

Nilai dan Vektor Eigen itu memiiki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

●  tidak memiliki invers atau  

● 

Contoh :

Teknik Menghitung Nilai Eigen

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A adalah:

1. Bentuk matrik (|-A)

2. Hitung determinan, det (|-A)=0

3. Tentukan persamaan karakteristik dari,(|-A)=0

4. Hitunglah akar-akar persamaan karakteristik (nilai )

5. Hitung vektor eigen dari SPL, (|-A)x=0

Contoh soal:

●Matriks 2x2

●Matriks 3x3

Sistem Persamaan Linear Menggunakan Metode Eliminasi Gauss,Eliminasi Gauss Jourdan, dan Crammer

1.Eliminasi Gouss
          Eliminasi Gauss ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Eleminasi Gauss adalah suatu cara untu mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode ini mirip dengan Metode OBE dalam mencari Invers Matriks, cuma eleminasi gaouss ini hanya sampai segitiga atas saja tidak sampai matriks identitas.

          Pertama-tama kita harus mengubah persamaan linear ke dalam matriks dan mengoperasikannya dengan metode OBE. Jadi syarat OBE juga berlaku disini. Syaratnya yaitu :

   ~Tukarkan kedua baris

   ~Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang ≠ 0

   ~Tambahkan Perkalian dari satu baris ke baris yang lain

Contoh soal :

2. Eliminasi Gauss Jourdan

    Eliminasi ini merupakan lajutan dari eleminasi gauss yang hasilnya langsung ke nilai x1, x2, x3 nya berapa. Tata cara pencariannya juga sama seperti mencari OBE yaitu hasil akhirnya matriks identitas.

Contoh soal :

3. Metode Crammer
    Jika AX = B  adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dimana det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)

X2 = det (A2) / det (A)

Xn = det (An) / det (A)

Contoh soal :

Invers Matriks Menggunakan Metode Perkalian Invers Matriks Elementer dan Partisi Matriks

1. Perkalian Invers Matriks Elementer

          Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matriks identitas. Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan setiap matriks bujur sangkar berordo nxn yang mempunyai invers ekivalen terhadap matriks identitas I.

          Matriks elemnter diperoleh dari transformasi matriks identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom.

Contoh Soal :

      

      2. Partisi Matriks

          Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

         Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Contoh Soal :

Invers Matriks Metode Adjoint dan Operasi Baris Elementer

        Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku  maka dikatakan bahwa matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

• Matriks 2x2

          untuk mengerjakan invers matriks  mempunyai syarat yaitu , maka rumus dari invers matriks A adalah sebagai berikut.

                                              

          Jika  maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

          Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: 

 

 

Contoh :  

Jawab : 

  

                                                     

• Matriks 3x3

          Matriks 3x3 bisa diselesaikan dengan beberapa cara, disini kita akan membahas dengan metode adjoint dan operasi elementer baris.

1. Metode Adjoint 

          Dinotasikan dengan Adj(A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A .

Rumus Invers :

 Contoh Soal :

Jawab :

Langkah pertama kita harus mencari determinan A 

                                                                                                                               

               

Langkah kedua kita harus mencari adjoint A, dalam mencari adjoint A kita harus mencari cofaktor dan minor terlebih dahulu

             

               

           

                                

                     

                    

Langkah ketiga kita baru bisa mencari invers A 

 

         

        

       2. Operasi Elementer Baris

                     Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat               dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

           1) Bentuklah matriks (A | I), dengan I adalah matriks identitas ordo n.

           2) Transformasikan matriks (A | I) ke bentuk (I | B), dengan transformasi elemen baris.

           3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A adalah matriks B.

                    Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

           a) Tukarkan 1 baris dengan baris lainnya

           b) Kalikan satu baris dengan bilangan bukan nol

           c) jumlahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya

           

           Contoh Soal :